是否存在是唯一分解整环（UFD）但非主理想整环（PID）的Prüfer整环？

先明确Prüfer整环的定义：一个整环$R$被称为Prüfer整环，当且仅当$R$中每个非零的有限生成理想都是可逆的。这个概念有不少等价刻画方式，这里就不展开说明了。

问题：是否存在一个Prüfer整环$R$，它同时是唯一分解整环（UFD），但不是主理想整环（PID）？

我一开始猜测这样的$R$应该是存在的——毕竟Prüfer整环的定义只对有限生成理想做了限制，完全没涉及非有限生成的理想。
不过有个常识是：如果一个Dedekind整环或者Bézout整环同时是UFD，那它必然是PID。所以要是真有满足条件的$R$，那它肯定既不是Dedekind整环，也不是Bézout整环。但尴尬的是，我现在连一个既不属于Dedekind也不属于Bézout的Prüfer整环都很难找出来……

备注：内容来源于Stack Exchange，提问作者Jianing Song