关于可逆黑塞矩阵的命题证明或证伪问询

嘿，我刚接触多元分析，碰到这么一个问题想请教大家：

待证/证伪命题： 设 $f:\mathbb{R}^n\to\mathbb{R}$ 是二阶连续可微函数。若黑塞矩阵 $\nabla^2f(x)$ 可逆，则存在某个 $r>0$，使得对所有满足 $|x-y|_2\leq r$ 的 $y\in\mathbb{R}^n$，都有 $|\nabla^2f(y){-1}|_2\leq 2|\nabla^2 f(x)^{-1}|$。

我能证明这个命题在一维情况下是成立的：一维时等价于存在 $r>0$，使得 $|f''(y)|\geq |f''(x)|/2$，这从 $f''$ 的连续性就能直接得出（取 $\varepsilon = |f''(x)|/2$ 就行）。不过到了高维的情况，我就有点卡壳了，想问问这个命题在高维空间里是不是也成立？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Aadi M Rane