分式$rac{x(1-x)}{x(1-a)+(1-x)a}$在$a<\frac{1}{2}$时的最大值论证问题

嘿，咱们先把这个问题拆解清楚～首先要明确：题目里说分子$x(1-x)$在$x=\frac{1}{2}$处最大化，这个是对的，因为分子是开口向下的二次函数，顶点就在$x=\frac{1}{2}$。但整个分式的最大值情况，在$a<\frac{1}{2}$时其实和$a>\frac{1}{2}$类似，只是极值点的位置不同，并不是在$x=\frac{1}{2}$，下面我一步步给你理清楚：

第一步：化简目标函数 #

设$f(x) = \frac{x(1-x)}{x(1-a)+(1-x)a}$，其中$a,x\in[0,1]$且$a<\frac{1}{2}$。先把分母化简：
$$
x(1-a)+(1-x)a = x(1-2a) + a
$$
因为$a<\frac{1}{2}$，所以$1-2a>0$，分母是关于$x$的增函数，这是一个关键性质。

第二步：求导找极值点 #

用商的导数法则求$f'(x)$：
$$
f'(x) = \frac{(1-2x)\cdot\left[x(1-2a)+a\right] - x(1-x)\cdot(1-2a)}{\left[x(1-2a)+a\right]^2}
$$
分子部分整理后是一个二次函数：
$$
N(x) = -(1-2a)x^2 - 2ax + a
$$
令$N(x)=0$，解这个二次方程，得到极值点：
$$
x = \frac{a \pm \sqrt{a(1-a)}}{2a-1}
$$

第三步：分析极值点的定义域 #

因为$a<\frac{1}{2}$，分母$2a-1<0$，我们逐个看这两个根：

• 第一个根$x_1 = \frac{a + \sqrt{a(1-a)}}{2a-1}$：分子是正数（$a\geq0$，根号非负），分母为负，所以$x_1\leq0$，不在定义域$(0,1)$内（$x=0$时分式为0，无实际最大值意义）。
• 第二个根$x_2 = \frac{a - \sqrt{a(1-a)}}{2a-1}$：分子是负数（因为$a<\frac{1}{2}$时，$a < \sqrt{a(1-a)}$），分母为负，所以$x_2>0$；进一步计算$x_2-1<0$，所以$x_2\in(0,1)$，且实际$x_2<\frac{1}{2}$（比如$a=\frac{1}{3}$时，$x_2=\sqrt{2}-1\approx0.414<0.5$）。

第四步：判断函数单调性与最大值 #

因为$N(x)$是开口向下的二次函数（二次项系数$-(1-2a)<0$），所以：

• 当$x\in[0,x_2)$时，$N(x)\geq0$，即$f'(x)\geq0$，$f(x)$单调递增；
• 当$x\in(x_2,1]$时，$N(x)<0$，即$f'(x)<0$，$f(x)$单调递减。

这说明$f(x)$在$x=x_2$处取得极大值，同时也是区间$[0,1]$上的最大值（因为端点$x=0$和$x=1$处$f(x)=0$，远小于极大值）。

补充：为什么会误以为最大值在$x=\frac{1}{2}$？ #

可能是混淆了分子和整个分式的最大值。分子$x(1-x)$确实在$x=\frac{1}{2}$最大，但分母在$x=\frac{1}{2}$时是$\frac{1}{2}$，而在$x=x_2$处，分子虽然比$\frac{1}{4}$小，但分母更小，导致整个分式的值更大。比如$a=\frac{1}{3}$时，$f(x_2)\approx0.514>f(\frac{1}{2})=0.5$。

特殊情况：$a=\frac{1}{2}$ #

此时分母恒为$\frac{1}{2}$，分式变为$2x(1-x)$，最大值确实在$x=\frac{1}{2}$，这时候$x_2=\frac{1}{2}$，和顶点重合。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者brave