测度论中G正则性与F正则性的等价性证明求助

嘿，我来帮你理清楚这个等价性的证明逻辑！这个问题本质上就是勒贝格可测集的Fₛᵢ₉ₘₐ正则性和Gδ正则性的等价刻画，结合零测集的性质就能把整个等价链串起来，我把(a)⇒(b)、(b)⇒(c)、(c)⇒(a)的推导一步步给你讲清楚：

首先证 (a) ⇒ (b)：可测集⇨Fₛᵢ₉ₘₐ集并零测集 #

因为$A$是勒贝格可测集，根据勒贝格测度的内正则性：对任意$n \in \mathbb{N}$，总能找到闭集$F_n \subseteq A$，使得$m(A \setminus F_n) < 1/n$。

现在令$F = \bigcup_{n=1}^\infty F_n$，显然$F$是Fₛᵢ₉ₘₐ集（可数个闭集的并），且$F \subseteq A$。接下来看$Z = A \setminus F$，我们要证明$Z$是零测集：

对任意$\epsilon > 0$，取足够大的$n$使得$1/n < \epsilon$，此时$Z \subseteq A \setminus F_n$，所以$m(Z) \leq m(A \setminus F_n) < 1/n < \epsilon$。由$\epsilon$的任意性，必然有$m(Z)=0$。

而$A = F \cup Z = \bigcup_{n=1}^\infty F_n \cup Z$，这就完全符合(b)的结论了。

再证 (b) ⇒ (c)：Fₛᵢ₉ₘₐ集并零测集⇨Gδ集减零测集 #

假设(b)成立：$A = \bigcup_{n=1}^\infty F_n \cup Z$，其中每个$F_n$是闭集，$m(Z)=0$。

首先，对每个闭集$F_n$，根据勒贝格测度的外正则性，对任意$k \in \mathbb{N}$，存在开集$G_{n,k} \supseteq F_n$，使得$m(G_{n,k} \setminus F_n) < 1/(2^{n+k})$。

对每个$k$，令$G_k = \bigcup_{n=1}^\infty G_{n,k}$，则$G_k$是开集（可数个开集的并），且$G_k \supseteq \bigcup_{n=1}^\infty F_n$。此时$G_k \setminus \bigcup_{n=1}^\infty F_n = \bigcup_{n=1}^\infty (G_{n,k} \setminus F_n)$，所以：
$$m(G_k \setminus \bigcup_{n=1}^\infty F_n) \leq \sum_{n=1}^\infty m(G_{n,k} \setminus F_n) < \sum_{n=1}^\infty 1/(2^{n+k}) = 1/2^k$$

现在令$G = \bigcap_{k=1}^\infty G_k$，这是一个Gδ集，且$G \supseteq \bigcup_{n=1}^\infty F_n$。记$N_1 = G \setminus \bigcup_{n=1}^\infty F_n$，对任意$k$都有$m(N_1) \leq m(G_k \setminus \bigcup_{n=1}^\infty F_n) < 1/2^k$，令$k \to \infty$可得$m(N_1)=0$。

接下来，$A = (\bigcup_{n=1}^\infty F_n) \cup Z = (G \setminus N_1) \cup Z = G \setminus (N_1 \setminus Z)$。令$H = N_1 \setminus Z$，因为$N_1$和$Z$都是零测集，勒贝格测度是完备的，所以$H$作为零测集的子集也是零测集。这样就得到$A = \bigcap_{k=1}^\infty G_k \setminus H$，完全符合(c)的形式。

最后证 (c) ⇒ (a)：Gδ集减零测集⇨可测集 #

这个方向是最直接的：Gδ集是可数个开集的交，开集本身是可测集，可数个可测集的交仍然是可测集；零测集$H$是可测集，可测集的补集也是可测集，而可测集的交集（也就是$(\bigcap_{n=1}^\infty G_n) \cap H^c$）还是可测集，所以$A$必然是勒贝格可测集，即$A \in \mathcal{M}$。

这样整个等价链(a)⇨(b)⇨(c)⇨(a)就完整闭环了！如果你之前的(a)部分证明没问题，把这几部分补进去就能搞定整个证明啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者lmendezayala