求证：形如$ax^n(1-x)+b(1-x)-2$的多项式至多有3个实根

嘿，这个问题挺有意思的，咱们换个角度拆解，就能很轻松地证明啦～

首先，先把原方程$f(x)=0$做个变形（注意$x=1$时$f(1)=-2\neq0$，所以不用考虑这个点）：
$$ax^n(1-x)+b(1-x)-2=0 \implies (1-x)(ax^n + b) = 2 \implies ax^n + b = \frac{2}{1-x}$$

这么一变，问题就转化成了：曲线$y=ax^n + b$和曲线$y=\frac{2}{1-x}$的交点个数最多是3个——毕竟每个交点的横坐标就是原方程的实根嘛。

接下来咱们分别分析这两条曲线的走势：

• 先看反比例曲线$y=\frac{2}{1-x}$：
  • 当$x<1$时，$1-x>0$，所以$y>0$，而且它是严格单调递增的（导数$\frac{2}{(1-x)^{2}>0$），当$x\to-\infty$时$y$趋近于$0}+$，$x$接近1左侧时$y$趋近于$+\infty$。
  • 当$x>1$时，$1-x<0$，所以$y<0$，同样是严格单调递增的，当$x$接近1右侧时$y$趋近于$-\infty$，$x\to+\infty$时$y$趋近于$0^-$。

然后看多项式曲线$y=ax^n + b$（$n$是自然数）：

• 当$a>0$时：
  • 如果$n$是偶数：曲线是“U型”，在$x=0$处有极小值点，$x\to\pm\infty$时$y$都趋近于$+\infty$，$x<0$时单调递减，$x>0$时单调递增。
  • 如果$n$是奇数：曲线是“斜向上”的，$x\to-\infty$时$y\to-\infty$，$x\to+\infty$时$y\to+\infty$，整个定义域内单调不减（因为导数$y'=anx^{n-1}\geq0$，$n-1$是偶数，非负）。
• 当$a<0$时：
  • 如果$n$是偶数：曲线是“倒U型”，在$x=0$处有极大值点，$x\to\pm\infty$时$y$都趋近于$-\infty$，$x<0$时单调递增，$x>0$时单调递减。
  • 如果$n$是奇数：曲线是“斜向下”的，$x\to-\infty$时$y\to+\infty$，$x\to+\infty$时$y\to-\infty$，整个定义域内单调不增。

现在咱们来数两个曲线的交点个数：

1. 在$x<1$的区域：

   • 对于“U型”或“倒U型”的偶数次多项式：它先减后增（或先增后减），而$y=\frac{2}{1-x}$是单调递增的，一条有一个极值点的曲线和单调增曲线最多有2个交点——比如左边下降段和增曲线交一次，右边上升段再交一次。
   • 对于单调的奇数次多项式：它要么一直递增要么一直递减，和单调递增的反比例曲线最多只有1个交点（毕竟两者都是单调的，最多交叉一次）。

2. 在$x>1$的区域：

   • 这里反比例曲线是从$-\infty$升到0的单调增曲线，而多项式曲线要么单调递增要么单调递减，要么有一个极值点，但不管哪种情况，它和这个区间的反比例曲线最多只能有1个交点——比如当多项式从负升到正时，会和负到0的反比例曲线交叉一次，否则就没有交点。

把两个区域的交点数加起来，最多就是$2+1=3$个，这就说明原方程最多有3个实根啦～

另外，当$a=0$时，原函数退化成一次函数$f(x)=-bx+(b-2)$，最多只有1个实根，显然也满足“至多3个”的结论。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者thedude