基于Thue-Siegel-Roth定理的√2有理逼近推导问询

咱们拿$\sqrt{2}$这个数来举例。假设给定一个任意的$\epsilon > 0$，我们来考虑下面这个不等式：
$$
\left| \sqrt{2} - \frac{q}{p} \right| < \frac{1}{p^{2+\epsilon}} \quad \cdots \quad (\lozenge)
$$
其中$p, q \in \mathbb{N}$。我们马上就能推导出：
$$
-\frac{1}{p^{2+\epsilon}} < \sqrt{2} - \frac{q}{p},
$$
由此进一步得到不等式：
$$
\sqrt{2} + \frac{q}{p} < 2\sqrt{2} + \frac{1}{p^{2+\epsilon}}.
$$
不过，当$p \geq 2$时，我们可以得出如下结论：
$$
\sqrt{2} + \frac{q}{p} < 2\sqrt{2} + \frac{1}{2^{2+\epsilon}} = C(\epsilon). \quad \cdots \quad (\blacklozenge)
$$
将$(\lozenge)$和$(\blacklozenge)$两个式子相乘……（注：原推导内容未完成，此处保留现有步骤）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Pierre MATSUMI