正方形顶点4盏灯泡状态迭代问题：第1000步状态求解

问题背景 #

正方形四个顶点A、B、C、D上各有一盏灯泡，初始状态全部为亮。迭代规则如下：

• 每往前走一步时，如果前一个顶点的灯泡是亮的，就切换下一个顶点灯泡的状态（亮变灭，灭变亮）；
• 如果前一个顶点的灯泡是灭的，则不对下一个灯泡做任何操作。

给大家举个实际迭代的例子：

从A出发走到B：因为A初始是亮的，所以切换B的状态（B从亮变灭）；
从B走到C：此时B是灭的，所以保持C的亮状态不变；
从C走到D：C是亮的，切换D的状态（D从亮变灭）；
从D走回A：D是灭的，保持A的亮状态不变。
走完4步后，灯泡状态为：A亮、B灭、C亮、D灭。

我们需要求解的核心问题是：第1000步时，四盏灯泡的状态是什么？

我的解法思路 #

手动算到第1000步显然不现实，所以我想到了「找循环周期」的方法：

1. 模拟每一步的迭代过程，全程记录灯泡的状态；
2. 当发现某个状态重复出现时，就能确定状态的循环周期；
3. 最后用模运算快速定位第1000步在循环中的位置，直接得到结果。

实操与结果 #

我用Python写了个小脚本模拟整个迭代过程，跑下来发现了清晰的循环规律：

• 状态[0, 0, 1, 0]（注：数组顺序对应A、B、C、D，0代表灭，1代表亮）首次出现在第39步，持续到第42步；
• 之后这个状态在第99-102步再次出现，后续每60步就会完整重复一次这个周期。

通过周期计算：(1000 - 39) % 60 = 961 % 60 = 1，说明第1000步的状态和第39+1=40步的状态完全一致，也就是[0, 0, 1, 0]——即A灭、B灭、C亮、D灭。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Son Mat Bukucu