有限生成k-代数的完备化的包含映射相关问题

各位好，我最近在研究有限生成k-代数的映射问题时遇到了一个困惑，想跟大家探讨一下：

设$A \hookrightarrow B$是有限生成$k$-代数的包含映射，这里$k$是任意域，并且这个映射既不是有限映射也不是平坦映射（我已经知道如果是有限映射的话，后续问题的答案是肯定的）。记$\pi\colon \mathrm{Spec}B \rightarrow \mathrm{Spec}A$为对应的谱空间映射。取$\mathfrak{p}\in \mathrm{Spec}A$，$\pi^{-1}(\mathfrak{p}) = {\mathfrak{P}i}{i\in I}\subset \mathrm{Spec}B$是$\mathfrak{p}$在$\pi$下的原像集合。对其中某个$i$，考虑自然映射：
$$A_\mathfrak{p}/\mathfrak{p}^lA_\mathfrak{p}\longrightarrow B_{\mathfrak{P}_i}/\mathfrak{P}i^lB{\mathfrak{P}_i}$$

（注：原问题内容存在截断，以上为可整理的完整部分）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者abcd1234