关于验证闭合曲线上线积分∫_C f(xy)(ydx+xdy)是否为0的技术疑问

我现在需要验证闭合曲线$C$上的线积分$\int_{C}f(xy)(ydx+xdy)$是否等于0，目前我的思路如下：

• 先定义两个函数：$P(x,y)=yf(xy)$，$Q(x,y)=xf(xy)$
• 按照线积分与路径无关的判定方法，如果$\frac{\partial Q}{\partial x}$和$\frac{\partial P}{\partial y}$相等，那这个线积分就和路径无关，自然在闭合路径上的积分结果就是0了

我用乘积法则和链式法则计算了这两个偏导数，得到：
$\frac{\partial Q}{\partial x}=f(xy)+xy\frac{\partial f(xy)}{\partial x}$，$\frac{\partial P}{\partial y}=f(xy)+xy\frac{\partial f(xy)}{\partial y}$

现在看起来这两个偏导数是否相等完全取决于$f$的形式，我是不是哪里考虑漏了？或者有没有别的方法可以证明这个积分等于0？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者najek81