关于ℝᵈ上随机变量独立性命题中X₁与X₂存在性的疑问

我在啃Cohn的测度论教材时，碰到了这么一个命题：

对ℝᵈ上任意两个Borel概率测度ν₁、ν₂，总能找到定义在同一个概率空间上的独立随机变量X₁、X₂，使得Xⱼ的分布恰好就是νⱼ。

一维的情况我能完全get到，但一到高维（d>1），我就彻底卡壳了——实在搞不懂为什么这样的X₁和X₂一定存在。

之前的章节里其实有过铺垫内容：我们已经在(0,1)上构造出了独立的Borel随机变量Y₁、Y₂，它们服从均匀分布。接着通过一个巧妙的单调函数（自然也是Borel可测的），可以构造出：
$$X_1=F_{\nu_1}^{-1}\circ Y_1, \quad X_2=F_{\nu_2}^{-1}\circ Y_2$$
这些随机变量满足：
$$\nu_j(A)=\lambda(X_j^{-1}(A))$$
这里的λ是[0,1]上的Lebesgue测度。

可问题是，这个构造思路在高维下根本走不通啊！毕竟高维分布函数的逆函数定义起来可比一维复杂太多了，我绞尽脑汁也想不出怎么把这个一维的方法推广到高维，从而证明X₁和X₂确实存在。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Kadmos