克莱因瓶的参数化推导方法及3D浸入式克莱因瓶参数方程说明

今天给大家介绍一种能在三维空间中呈现克莱因瓶形态的浸入式参数方程，具体表达式如下：

$$
\begin{aligned}
x(s,t) &= -\frac{2}{15} \Bigl[3\cos(t) - 30\cos(s) + 90\cos^4(s)\sin(s) \
&\qquad\qquad - 60\cos^6(s)\sin(s) + 5\cos(s)\cos(t)\sin(t) \Bigr] \cos(s) \
y(s,t) &= -\frac{1}{15} \Bigl[3\cos(s) - 3\cos^2(s)\cos(t) - 48\cos^4(s)\cos(t) + 48\cos^6(s)\cos(t) \
&\qquad\qquad - 60\sin(s) + 5\cos(s)\sin(s)\cos(t) - 5\cos^3(s)\sin(s)\cos(t) \
&\qquad\qquad - 80\cos^5(s)\sin(s)\cos(t) + 80\cos^7(s)\sin(s)\cos(t) \Bigr] \sin(s) \
z(s,t) &= \frac{2}{15} \Bigl[3 + 5\cos(s)\sin(s)\Bigr] \sin(t)
\end{aligned}$$

当我们用3D函数绘图工具将这些方程可视化后，就能得到克莱因瓶的直观形态：

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Mr X