求助：证明L^q[0,1]空间中特定积分的极限为0

嘿，我现在卡在一个实分析的证明题上了，想请各位大佬给点思路提示！

问题是要证明：
$$\lim_{n\to \infty}\int_0^{n{-\beta}}nf(x)dx=0,\forall f\in L^q[0,1], $$
其中$\beta=\frac s{s-1}$，且满足$1<s<q$的条件。

我一开始尝试用Hölder不等式来处理这个积分，但发现好像走不通，实在没头绪了，有没有朋友能给点方向或者小提示呀？万分感谢！

对了，补充一下背景：我是在证明“$L^q[0,1]$是$Lp[0,1]$中的Baire第一纲子集”这个结论时遇到这个问题的，把这个背景写出来，方便有同样疑问的同学能搜索到相关思路~

备注：内容来源于stack exchange，提问作者shwsq