关于Folland实分析中正、负变差公式的验证请求

大家好，最近啃Folland的实分析教材（第103页）的时候，卡在了有界变差函数正负变差的一个公式上，想请各位帮忙验证一下这个等式的正确性。

先把背景梳理清楚：

• 设 $F\in BV$ 是实值的有界变差函数，$T_F(x)$ 是 $F$ 的全变差函数，定义如下：
  $$T_F(x)=\sup\left{\sum_1^n |F(x_j)-F(x_{j-1})|:n\in\mathbb N,-\infty<x_0<\cdots<x_n=x\right}.$$
• 我们知道有界变差函数可以分解为两个递增函数的差：$F=\frac{1}{2}(T_F+F)-\frac{1}{2}(T_F-F)$，其中 $\frac{1}{2}(T_F\pm F)$ 都是递增函数。

现在教材里给出了这么一个等式：
$$\frac{1}{2}(T_F\pm F)=\sup\left{\sum_1^n [F(x_j)-F(x_{j-1})]^\pm :x_0<\cdots<x_n=x\right}\mp\frac{1}{2}F(-\infty),$$
这里的正负部定义是：$x^{+=\max(x,0)=\frac{1}{2}(|x|+x)$，$x}-=\max(-x,0)=\frac{1}{2}(|x|-x)$。

我自己试了几次推导都没捋顺，有没有大佬能帮忙一步步验证这个等式呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者psie