关于Jech《集合论》定理2.8证明中$y_1\in \text{ran}(f)$的疑问

我太懂你卡在这里的感受了——Jech的证明有时候会把一些“理所当然”的良序集性质省略掉，刚接触的人很容易卡壳。咱们一步步把这个逻辑理清楚：

首先回忆证明里那个关键的函数$f$：它是由所有满足$W_1(u) \cong W_2(v)$的配对$(u,v)$组成的，其中$W_i(u)$是$W_i$中由元素$u$生成的初始段。这个函数$f$有两个核心性质：

• 它是严格保序的，因为良序集的初始段同构必然保持顺序；
• 它的定义域是$W_1$的一个初始段，值域也是$W_2$的一个初始段——这是良序集的特殊性决定的：如果一个元素在定义域里，那所有比它小的元素也一定在定义域里，值域同理。

现在假设我们排除了定理里的前两种情况：$W_1$既不同构于$W_2$，也不同构于$W_2$的任何初始段。那$f$的定义域就不可能是整个$W_1$（否则要么值域是整个$W_2$，对应第一种情况；要么值域是$W_2$的真初始段，对应第二种情况），所以$f$的定义域只能是$W_1$的某个真初始段，也就是存在某个$x_1 \in W_1$，使得$\text{dom}(f) = W_1(x_1)$（所有小于$x_1$的$W_1$元素）。

接下来就是你疑问的点：为什么任意$y_1 \in W_2$都属于$\text{ran}(f)$？咱们用反证法来想：
假设存在某个$y_1 \notin \text{ran}(f)$，那因为$f$的值域是$W_2$的初始段，所以值域必然是$W_2(y_1)$（所有小于$y_1$的$W_2$元素）。这时候，$f$本身就是$W_1(x_1)$和$W_2(y_1)$之间的同构映射——那按照$f$的定义，配对$(x_1, y_1)$应该属于$f$才对！但$x_1$不在$\text{dom}(f)$里（因为定义域是$W_1(x_1)$，$x_1$比里面所有元素都大），这就产生了矛盾。

这个矛盾说明我们的假设不成立，也就是不存在这样的$y_1$，所有$W_2$里的元素都在$f$的值域里，也就是$y_1 \in \text{ran}(f)$对任意$y_1 \in W_2$都成立。这也就推出第三种情况：$W_2$同构于$W_1$的初始段$W_1(x_1)$。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sam