关于t→∞时积分族∫1/(x+sin(tx))dx收敛到∫1/√(x²-1)dx的验证问询

嘿，我最近在验证下面这个结论是不是成立，想跟大家讨教一下：

当$x>1$时，随着$t\to\infty$，积分族$\int \frac{1}{x+\sin(tx)}dx$会收敛到$\int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx$，也就是：
$$
\int \frac{1}{x+\sin(tx)}dx \to \int \frac{1}{\sqrt{x^2-1}}dx \quad (t\to\infty, x>1) \tag{1}
$$
这里说的是积分族的原函数收敛哦。

我是从一个关于积分极限的结论得到的灵感，那个结论是：

$$
\lim_{t \to \infty}\int_a^b f(x,\sin(tx)) dx = \frac{1}{2\pi}\int_a^b \int_0^{2\pi} f(x,\sin(s)) ds dx
$$

顺着这个思路，我令$f(x,y)=\frac{1}{x+y}$，先计算了$\frac{1}{2\pi}\int_{0}^{{2\pi}\frac{1}{x+\sin(s)}ds$，算出来结果正好是$\frac{1}{\sqrt{x}2-1}}$（当然前提是$x>1$）。

不过这里我有几个疑问想请教大家：

• 这个从定积分极限推广到不定积分族收敛的结论是否成立？毕竟原结论是针对区间上的定积分极限，而我关注的是原函数层面的收敛。
• 要让这个收敛成立，需要额外满足什么条件吗？比如$f(x,y)$的连续性、有界性之类的，会不会影响原函数的收敛性？
• 有没有什么严谨的方法可以证明这个不定积分族的收敛性呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user953715