基于给定非逻辑公理的形式算术公式推导可行性咨询

看起来你给出的这套非逻辑公理其实就是**皮亚诺算术（PA）**的核心公理集合呀！你提到想推导某个公式（内容好像没写完？），不过先结合这套公理给你梳理下推导的可行性：

首先先明确你列出的完整公理组成：
$$
\begin{align*}
A_{x0} &: \quad \forall x , (x \times 0 = 0) \
A_{x_s} &: \quad \forall x , \forall y , (x \times s(y) = x \times y + x) \
A_{+0} &: \quad \forall x , (x + 0 = x) \
A_{+s} &: \quad \forall x , \forall y , (x + s(y) = s(x + y)) \
A_{r=} &: \quad \forall x , (x = x) \
A_{s=} &: \quad \forall x , \forall y , ((x = y) \rightarrow (y = x)) \
A_{t=} &: \quad \forall x , \forall y , \forall z , ((x = y) \rightarrow (x = z) \rightarrow (y = z)) \
A_{+=s} &: \quad \forall x , \forall y , ((x = y) \rightarrow (s(x) = s(y))) \
A_{-=s} &: \quad \forall x , \forall y , ((s(x) = s(y)) \rightarrow (x = y)) \
A_0 &: \quad \forall x , \neg (0 = s(x)) \
A_{\text{ind}} &: \quad \varphi {x/0} \land \forall x , (\varphi \rightarrow \varphi {x/s(x)}) \rightarrow \forall x , \varphi
\end{align*}
$$

这套公理的推导能力可以分成这几部分来看：

• 算术运算基础：A_{x0}、A_{x_s}定义了乘法的递归规则，A_{+0}、A_{+s}定义了加法的递归规则，这四个是所有算术运算推导的起点
• 等式与后继约束：A_{r=}、A_{s=}、A_{t=}是等式的基本性质（自反、对称、传递），A_{+=s}保证后继运算不会破坏等式，A_{-=s}确保后继是单射，A_0排除了0作为后继的情况，这些是维持算术系统一致性的基础约束
• 核心推导工具：A_{\text{ind}}是数学归纳法公理模式，这是皮亚诺算术能证明大量全称命题的关键，没有它的话很多基础算术性质都无法完成全称性证明

关于推导可行性的判断：

• 如果你的目标公式是皮亚诺算术可证的命题（比如∀x(x+s(0)=s(x))这类基础恒等式，或者像加法交换律、结合律这类经典算术性质），那完全可以通过逐步应用上述公理来推导：
  1. 先从运算递归公理和等式公理出发，推导单个实例的成立
  2. 再结合归纳法公理模式，从基例（x=0）推广到所有自然数，完成全称命题的证明
• 如果你的目标公式是皮亚诺算术不可证的命题（比如哥德尔不完备定理构造的自指命题，或者古德斯坦定理这类需要更强集合论支持的命题），那仅用你给出的这些公理就无法完成推导了

如果你能把想推导的具体公式补充完整，我可以帮你更精准地分析推导路径或者可行性哦！

备注：内容来源于stack exchange，提问作者leeeeeeeeess