二元乘积可测函数关于单变量的勒贝格积分的可测性疑问

假设 $f\geq0$ 是关于乘积测度 $\mu_1 \otimes \mu_2$ 的可测函数，其中 $\mu_1: \Sigma_1 \rightarrow [0,\infty]$ 和 $\mu_2: \Sigma_2 \rightarrow [0,\infty]$ 是σ有限测度，$\Sigma_1$、$\Sigma_2$ 分别是 $X_1$、$X_2$ 上的σ代数，函数 $f: X_1 \times X_2 \rightarrow [0,\infty]$。

我们定义函数 $g: X_1 \rightarrow [0,\infty]$ 为：
$$g(x_1)=\int_{X_2} f(x_1,x_2) d\mu_2 (x_2)$$

虽然可能听起来有点基础，但我还是想问：为什么 $g$ 是可测函数呢？

其实这个问题一点都不傻哦，很多刚接触乘积测度的同学都会卡在这儿～我们可以一步步拆解来理解：

1. 从特征函数入手 #

先考虑最基础的情况：假设 $f$ 是乘积σ代数中某个集合的特征函数，也就是 $f = \chi_A$，其中 $A \in \Sigma_1 \otimes \Sigma_2$。
根据乘积测度的定义，对于每个 $x_1 \in X_1$，截面 $A_{x_1} = {x_2 \in X_2 \mid (x_1,x_2) \in A}$ 一定属于 $\Sigma_2$（也就是关于 $\mu_2$ 可测），而且函数 $x_1 \mapsto \mu_2(A_{x_1})$ 是 $\Sigma_1$-可测的。这时候 $g(x_1) = \mu_2(A_{x_1})$，自然满足可测性。

2. 推广到非负简单函数 #

如果 $f$ 是有限个特征函数的非负线性组合，即 $f = \sum_{i=1}^n c_i \chi_{A_i}$（其中 $c_i \geq 0$，$A_i \in \Sigma_1 \otimes \Sigma_2$），那么对应的 $g(x_1) = \sum_{i=1}^n c_i \mu_2((A_i)_{x_1})$。
因为可测函数的线性组合仍然是可测函数，所以这时候 $g$ 也是 $\Sigma_1$-可测的。

3. 逼近一般非负可测函数 #

对于任意非负可测函数 $f$，我们都能找到一列递增的非负简单函数 ${f_n}$，使得 $f_n$ 逐点收敛到 $f$（这是勒贝格积分里的核心逼近技巧）。
根据勒贝格单调收敛定理，对应的积分序列 $g_n(x_1) = \int_{X_2} f_n(x_1,x_2) d\mu_2(x_2)$ 也会逐点递增到 $g(x_1)$。而每个 $g_n$ 都是可测的（第二步的结论），可测函数列的逐点极限仍然是可测函数，所以 $g$ 自然就是 $\Sigma_1$-可测的了。

另外要提一句：题目里的σ有限条件很关键！如果没有这个条件，第一步中“截面测度函数可测”的结论可能就不成立，整个推导也就站不住脚了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者BT-M