计算滚动平均时间序列的不确定度

嗨，看起来你已经在处理1957年以来海洋吸热的时间序列数据，还用5年中心滚动平均做了平滑处理，现在需要计算滚动平均后的不确定度对吧？我来一步步帮你理清楚：

首先先回顾你的滚动平均公式：

\bar{x}_n = \frac{x_{n-2} + x_{n-1} + x_n + x_{n+1} + x_{n+2}}{5}

不确定度的核心计算逻辑 #

对于独立测量值的线性组合，不确定度的传播遵循方差相加的原则：如果有一个量 ( y = a_1x_1 + a_2x_2 + ... + a_kx_k )，那么y的方差 ( \sigma_y^2 = a_1^{2\sigma_{x_1}}2 + a_2^{2\sigma_{x_2}}2 + ... + a_k^{2\sigma_{x_k}}2 )，其中 ( \sigma_{x_i} ) 是每个 ( x_i ) 对应的标准误差。

套用到5年滚动平均的场景 #

在你的滚动平均计算里，每个数据点的权重都是 ( \frac{1}{5} )，所以滚动平均结果的方差可以写成：

\sigma_{\bar{x}_n}^2 = \left(\frac{1}{5}\right)^2\sigma_{n-2}^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2\sigma_{n-1}^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2\sigma_n^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2\sigma_{n+1}^2 + \left(\frac{1}{5}\right)^2\sigma_{n+2}^2

进一步简化后，滚动平均的标准误差（也就是不确定度）为：

\sigma_{\bar{x}_n} = \frac{1}{5}\sqrt{\sigma_{n-2}^2 + \sigma_{n-1}^2 + \sigma_n^2 + \sigma_{n+1}^2 + \sigma_{n+2}^2}

推广到任意大小的中心滚动窗口 #

如果你的滚动窗口大小是 ( 2k+1 )（比如k=2时就是5年窗口），那通用的不确定度公式可以写成：

\sigma_{\bar{x}_n} = \frac{1}{2k+1}\sqrt{\sum_{i=n-k}^{n+k}\sigma_i^2}

几个需要注意的点 #

• 这个推导的前提是各个数据点的测量误差是独立的，如果你的数据误差存在相关性（比如相邻年份的误差有关联），那还需要加入协方差项，公式会更复杂。
• 对于序列首尾的点（比如前2年和最后2年），中心滚动平均无法直接计算，你可能需要用单边滚动平均或者截断处理，对应的不确定度计算也要调整窗口内的项数。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者pboardman449