关于利用正态分布对称性求E(Z|Y)推导过程的疑问（Y=Z²，Z~N(0,1)）

我知道这个问题之前已经有人给出过解答了，但我实在搞不懂推导过程是怎么来的。特别是看到有人在评论里提出的一个问题：“怎么从期望推出 $p(\sqrt{y}) + p(-\sqrt{y}) = 0$？”

我能理解背后的直觉——因为标准正态分布是对称的，$\sqrt{y}$ 和 $-\sqrt{y}$ 对应的概率应该是相等的，但我不清楚到底是利用了期望的哪条性质才能这么计算。而且还有个点让我困惑：Z是连续型随机变量啊，那 $p(\pm\sqrt{y})$ 不管怎么说都应该是0吧？这就更搞不懂这个式子的意思了。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者monopoly