推导有理函数迭代结果对应函数$f_r(x)$的方法咨询

嘿，我完全明白你的问题了——你之前靠观察特例，推导出了线性函数$e(x)=\frac{x}{4}$的迭代次数对应函数$e_r(x)$，但现在碰到这个复杂的有理函数，想找通用方法来推导类似的$f_r(x)$对吧？

先给你理清楚思路，有理函数的迭代可比线性函数复杂多了，没法像之前那样直接看规律，得用一些有理函数迭代的通用技巧：

首先，先把你的目标函数整理简化一下，原函数$f(x)=\frac{x(x^3 - 16x)}{4(x^3 + 2)}$可以写成：
$$f(x) = \frac{x^4 - 16x^2}{4x3 + 8}$$
这是一个四次分子、三次分母的有理函数，咱们一步步来：

• 第一步：理解有理函数迭代的核心技巧——函数共轭
  线性函数的迭代之所以简单，是因为它本身的结构就适合直接找规律，但高次有理函数得靠「函数共轭」来转化。简单说，就是找一个可逆的辅助函数$\phi(x)$，把你的$f(x)$转化成一个容易迭代的函数（比如幂函数$y^{k$，或者简单的分式线性函数）。具体来说，要让$\phi(f(\phi}{-1}(y))) = g(y)$，这里$g(y)$是好迭代的函数。
  一旦找到这样的$\phi$和$g$，那$f$迭代$n$次的结果就可以写成：
  $$f^n(x) = \phi^{-1}(gn(\phi(x)))$$
  这个$f^n(x)$就是你要的$f_r(n)$——输入迭代次数$n$，直接得到$f(a)$迭代$n$次后的结果。

• 第二步：针对你的$f(x)$具体操作

  1. 先简化分析基础：求不动点
     先解$f(x)=x$，也就是找不动点，这能帮你判断共轭映射的可能形式：
     $$\frac{x^4 - 16x^2}{4x3 + 8} = x$$
     整理后得到：$3x^4 +16x^2 +8x=0$，因式分解后是$x(3x^3 +16x +8)=0$，所以不动点有$x=0$，还有三次方程$3x^3+16x+8=0$的三个根。这些点能给你找$\phi(x)$提供线索，比如$x=0$是不动点，那$\phi(x)$可能会包含$x$作为因子。
  2. 尝试寻找合适的共轭映射
     观察$f(x)$的形式，分子是$x^4-16x2$，分母是$4x^{3+8$，可以试试假设$\phi(x)$是分式多项式，比如$\phi(x)=\frac{x}2}{mx + n}$或者$\phi(x)=\frac{x^3 + c}{x}$这类形式，代入后看看能不能把$\phi(f(x))$转化成$\phi(x)$的幂函数（比如$(\phi(x))^{k$）。如果能做到这一点，那$g(y)=y}k$，迭代$n$次就是$y^{kn}$，那$f^{n(x)$就可以写成$\phi}{-1}((\phi(x))^{kn})$，这就是你要的$f_r(n)$。

• 第三步：如果找不到初等共轭映射怎么办？
  有些高次有理函数没法找到初等的共轭映射，这时候可能就没法用初等函数写出$f_r(x)$了，只能用递推关系或者形式幂级数来表示迭代结果，但先试试上面的共轭方法，大概率能找到突破口。

对比你之前的线性函数例子，其实那个情况就是共轭映射是恒等函数的特例——$e(x)=\frac{x}{4}$本身就是$g(y)=\frac{y}{4}$，所以直接迭代$n$次就是$\frac{a}{4^n}$，但有理函数就得靠共轭来转化成简单函数再迭代。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者madhurkant