求曲线$y^2-y=x^3-x^2$无非平凡有理点的初等证明

嘿，这个问题用无穷递降法就能给出非常初等的证明，思路很直观：假设存在非平凡有理点，我们一步步推导，最终会导出矛盾，或者找到一个“更小”的有理点，一直递降下去直到不可能，从而证明不存在这样的点。

步骤1：方程变形与配方 #

先把原方程两边乘以4消去分数，方便配方：

4y² - 4y = 4x³ - 4x²

左边配方成完全平方：(2y - 1)²，右边提取公因式：x²(4x - 4)，于是方程变成：

(2y - 1)² = 4x²(x - 1)

步骤2：分析有理数的平方根性质 #

设u = 2y - 1，那么u² = 4x²(x - 1)。因为我们假设存在有理点，所以u和x都是有理数。右边的4x²是有理数的平方，所以x - 1必须也是有理数的平方（否则右边是无理数，左边是有理数，矛盾）。

设x - 1 = t²（t为有理数），则x = t² + 1，把它代回原方程：

y² - y = (t² + 1)³ - (t² + 1)²

右边可以化简为：(t² + 1)²[(t² + 1) - 1] = t²(t² + 1)²，所以方程变为：

y² - y = t²(t² + 1)²

再对左边配方，两边乘以4：

(2y - 1)² = 4t²(t² + 1)² + 1

令A = 2y - 1，B = 2t(t² + 1)，就得到一个熟悉的方程：

A² - B² = 1

步骤3：分解方程并转化为整数问题 #

这个方程可以因式分解为(A - B)(A + B) = 1。因为A和B都是有理数，所以A - B和A + B互为倒数。设A - B = r（r是非零有理数），则A + B = 1/r，解这两个方程可得：

A = (r + 1/r)/2，B = (1/r - r)/2

把B = 2t(t² + 1)代入，整理后得到：

1 - r² = 4rt(t² + 1)

现在设t = p/q，其中p和q是互质的整数（q > 0），代入上式并消去分母，最终得到关于p和q的整数方程：

q³ - (p² + 4p)q² - p²q - 4p³ = 0

步骤4：用有理根定理和无穷递降找矛盾 #

根据有理根定理，因为p和q互质，q必须整除4p³，而gcd(p, q)=1，所以q只能是1、2、4这几个值，我们逐个检验：

• q=1：代入方程得4p³ + 2p² + 4p - 1 = 0，整数p代入后左边要么大于0要么小于0，无整数解；
• q=2：代入得2p³ + 3p² + 8p - 4 = 0，同样整数p代入后没有满足的解；
• q=4：代入得p³ + 5p² + 16p - 16 = 0，整数p也没有解。

另外，当t=0时，x=1，代入原方程得到y=0或1，这是平凡点；当x=0时，y=0或1，也是平凡点。

这就说明不存在非平凡的有理点——如果假设存在，我们会找不到满足条件的整数p和q，矛盾。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Thomas Blok