奥林匹克欧氏几何：内切圆与外接圆相关几何证明求助

我最近死磕一道奥林匹克欧氏几何题，折腾了好长时间，还是没法把它完整证出来，想请教各位几何大佬帮忙看看：

• 给定锐角三角形$\triangle ABC$，在边$AC$上取点$D$，满足$BD=BC$；
• 设$I$为$\triangle ABC$的内心，连接线段$AI$、$IC$；
• 分别取$AI$、$IC$、$AC$的中点，记为$L$、$N$、$M$；
• 设$J$是$\triangle AIC$的外接圆圆心；
• 直线$NM$与$\triangle DMJ$的外接圆交于点$P$（$P$不与$M$重合）；
• 直线$LJ$与$\triangle DMJ$的外接圆交于点$Q$（$Q$不与$J$重合）；
• （原文内容截断：Let the incircle of <span class="math-co...）

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Antonyliao