关于2n+1维闭定向光滑流形上满足不变条件的积分等式证明问询

给定一个2n+1维的闭（即紧致无边）定向光滑流形$M$，以及一个光滑向量场$X\in\Gamma(TM)$。假设两个1-形式$\alpha,\beta\in\Omega^1(M)$满足：
$$\left(\phi_t^X\right){\ast}\alpha=\alpha,\quad\left(\phi_t^X\right){\ast}\beta=\beta,\quad\forall t\in\mathbb{R}.$$
其中$\phi_t^X$是向量场$X$对应的单参数微分同胚群。如果$\alpha(X)=\beta(X)=1$，求证：
$$\int_M(\alpha-\beta)\wedge\sum_{j=0}^{n}(d\alpha)j\wedge(d\beta)^{n-j}=0.$$

我目前的思路是：我注意到题目里的不变性条件可以这么理解——因为$\phi_t^{X$是$X$生成的单参数微分同胚群，它能保持$\alpha$和$\beta$不变，再加上$\alpha(X)=\beta(X)=1$这个条件，是不是说明$X$同时是$\alpha$和$\beta$的Reeb向量场？或者说$X$和这两个1-形式的对偶关系有什么特殊性质？不过我还没完全想明白怎么把这些条件和要证明的积分等式联系起来，尤其是那个求和项$\sum_{j=0}}{n}(d\alpha)^{j\wedge(d\beta)}{n-j}$，这个组合式的积分处理起来有点棘手，希望能得到思路上的提示。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Sparkle-Lin