Weibel《同调代数导论》第13页：短正合列导出长正合序列证明中的图转换问题

咱们先明确这本书要讲解的核心定理——也就是定理1.3.1：

定理1.3.1：设$0\to A_{\bullet} \xrightarrow{f} B_{\bullet} \xrightarrow{g} C_{\bullet} \to 0$是链复形的短正合序列（SES）。则存在自然映射$\partial:H_n(C) \to H_{n-1}(A)$，称为连接同态，使得下述序列是正合序列：
$$
\cdots \xrightarrow{g} H_{n+1}(C) \xrightarrow{\partial} H_n(A) \xrightarrow{f} H_n(B) \xrightarrow{g} H_{n}(C) \xrightarrow{\partial} H_{n-1}(A) \xrightarrow{f} \cdots
$$

这个定理在第10页给出，之后几页就正式开始了证明过程。

![Weibel《同调代数导论》第13页插图（展示链复形短正合列与微分态射构成的交换图）]

具体来说，他们为每个复形分别取了微分态射$A_n \xrightarrow{d} A_{n-1}$（对应$B_\bullet$和$C_\bullet$也有各自的微分态射），通过这些态射与短正合列的$f$、$g$态射构建交换图，这正是构造连接同态$\partial$、进而推导长正合序列的关键环节。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者TotoposAndPicoDeGallo