非局部PDE格林函数的L¹可积性验证问询

最近我在处理这个非局部偏微分方程问题：
$$((-\Delta)^{s}+I)u=f\qquad\text{in }\mathbb R^n$$
计算它的格林函数时，碰到了下面这个积分：
$$G(x)=\int^\infty_{-\infty} \frac{e^{{ix\omega}}{1+|\omega|}\alpha}d\omega$$
其中$\alpha\in(0,2)$。

问题：$\displaystyle\int^\infty_{-\infty}|G(x)|dx<\infty$ 是否成立？

目前已知的信息： #

• $G(x)$在$x=0$处发散，但在其他所有点都有定义：当$\alpha\in(0,1]$时积分是条件收敛，当$\alpha\in(1,2)$时积分是绝对收敛。
• 当$\alpha=2$时，$G(x)=\frac12 e^{{-|x|}$，这时候显然$\int_{-\infty}}\infty |G(x)|dx = \int_{-\infty}^\infty \frac12 e^{-|x|}dx = 1 < \infty$，不过我不确定$\alpha\in(0,2)$的所有情况是否都满足这个L¹可积性。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Lee