关于利用戴德金分割证明“1<x且y<z时x^y < x^z”的方法有效性验证问询

大家好，我想请教一个问题：假设我们已经确认了一个前提——当$x>1$时，如果$p$、$q$是有理数且$p<q$，那么$x^p < x^{q$。那用下面这套基于戴德金分割的方法来证明「当$1<x$且$y<z$时，$x}y < x^z$」这个命题，是否是有效的呢？

待证命题：当$1<x$且$y<z$时，$x^y < x^z$；

我的尝试过程如下：

• 取与实数$y$、$z$分别对应的戴德金分割$A$和$B$，已知$y<z$，根据戴德金分割的性质，必然存在一个元素$b \in B$，且$b$是$A$的一个上界。同时，设与$x^y$、$xz$对应的戴德金分割分别为$A_x$和$B_x$。
• 对于这个找到的$b$（它是$A$的上界），满足$\forall a \in A$，都有$b > a$。
• 结合已知的有理数情形结论，由此可以推出：$\forall a \in A$，$\exists b \in B$，使得$x^b > x^a$。

目前我只推到这一步，想请大家帮忙判断这个证明思路是否合理，有没有逻辑上的疏漏，或者还需要补充哪些步骤才能完成完整的证明呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Justin Wu