关于凸分析中集合相对内部与核的关系及适用条件的技术问询

最近我在啃两本凸分析相关的专业书籍时，发现它们都提到了集合相对内部（relative interior）和核（core）关系的定理，但给出的适用条件却不太一样，这可把我搞糊涂了，想跟大家请教几个问题：

• 第一本是Amir Beck的《First-Order Methods in Optimization》，相关定理的截图如下：
  
  
• 第二本是Borwein等人合著的《Convex analysis and nonlinear optimization: theory and examples》，相关内容的截图：
  

我的具体问题如下：

• 集合C的相对内部和核之间的精确关系到底是什么？
• 在什么条件下，这两个概念的等价性或者包含关系能够成立？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Perry Chuh