关于4顶点环图着色分情况计算的合理性及色多项式是否应取最小值的疑问

嘿，我最近在研究4顶点环图（也就是4个顶点的圈图）的着色问题时，看到了一种分情况计算的思路，但有点困惑，想跟大家聊聊：

如果我们要给图G做合法的k着色，顶点1可以任意选颜色，有k种选择。顶点2和4的颜色必须和顶点1不同，所以各有k−1种选择。这里分两种情况考虑：如果顶点2和4颜色相同，那顶点3有k−1种选择；如果它们颜色不同，顶点3就有k−2种选择。

不过我有点疑惑，这里是不是应该只考虑其中某一种情况？或者说，色多项式的计算是不是应该取两种情况里的最小值？总感觉这个分情况的逻辑哪里有点没绕过来，有没有大佬能帮忙解释下这种分情况的合理性呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Ramanan Baskar