关于广义柯西积分公式在特定围道积分中适用性的问询

我想要计算下面这个围道积分：
$$\displaystyle I = \oint_{|z-2|=1} \frac{e^z + 2\cos z}{(z-3)(z-2)^2} , dz.$$

我把被积函数拆成了这样的形式：
$$f(z) = \dfrac{g(z)}{(z-2)^2}, \quad \text{其中} \quad g(z) = \dfrac{e^z + 2\cos z}{z-3},$$

最开始我打算用针对高阶极点的广义柯西积分公式来求解，公式是这样的：
$$
\int_{|z-z_0|=r} \frac{g(z)}{(z-z_0)^n} , dz = 2\pi i \cdot \frac{1}{(n-1)!} \frac{d^{n-1}}{dz{n-1}} g(z) \Big|_{z=z_0}.
$$

不过我突然发现$g(z)$在$z=3$处有一个奇点，而这个点刚好落在围道$|z-2|=1$的边界上。我记得广义柯西积分公式要求$g(z)$在围道上以及围道内部都是解析的，现在这个条件好像不满足了。

我的问题是：

• 这种情况下还能使用广义柯西积分公式来计算这个积分吗？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Learner