莱布尼茨法则下$d(\frac{f(x)}{g(x)})$的推导求助

看起来你已经找对方向啦！把分式转化成乘积形式来用莱布尼茨（乘积）微分法则的思路完全没问题，卡壳的地方其实只差一步复合函数微分的处理~

你已经写出了：
$$d\left({f(x)}{g(x)}^{{-1}\right)=f(x)d\left(g(x)}{-1}\right)+g(x)^{-1}d\left(f(x)\right)$$

接下来只需要解决$d\left(g(x)^{-1}\right)$这一项就好：

• 先把$g(x)$看成一个整体，令$u = g(x)$，那么$g(x)^{-1} = u^{-1}$
• 根据复合函数的微分法则，$d(u^{-1}) = -u^{-2}du$
• 把$u = g(x)$代回去，就得到$d\left(g(x)^{-1}\right) = -g(x)^{-2}d\left(g(x)\right)$

现在把这个结果代回你原来的式子，再整理一下各项，就能得到商的微分公式啦😉

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user122424