含三角函数与平方根项的积分恒等式证明求助

各位好，我最近在尝试证明下面这个积分恒等式，但遇到了不少阻碍，希望能得到大家的帮助：

设 ( a )、( b ) 为实数，证明：
$$
\int_{0}^{\pi} \frac{\left(\sqrt{1 + (a \cos t + b \sin t)^2} + a \cos t + b \sin t\right)^2}{1 + \left(\sqrt{1 + (a \cos t + b \sin t)^2} + a \cos t + b \sin t\right)^2} , dt = \arccos\left(-\frac{b}{\sqrt{1 + a^2 + b^2}}\right)
$$

我目前的思路是这样的：

• 首先想到用三角恒等式简化 ( a \cos t + b \sin t )，把它写成 ( r \cos(t - \phi) ) 的形式，其中 ( r = \sqrt{a^2 + b^2} )，( \phi = \arctan\left(\frac{b}{a}\right) )。这个替换看起来很自然，但代入之后积分里的表达式变得异常复杂，我没办法继续化简下去了。

有没有朋友能给我一些下一步的思路，或者指出我有没有哪里考虑不周的地方呀？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者SingularMathPlay