关于存在二阶逻辑紧致性与非完全性相关结论的参考文献问询

我在一些逻辑相关的讨论里了解到，存在二阶逻辑是具备紧致性的，但另一份讨论内容却指出它并不具有完全性，其中有这样一段表述：

一个“自然存在的逻辑”也能用来证明(2)（紧致性）并不蕴含(1)（完全性），那就是二阶逻辑的存在片段；它的紧致性可以从一阶逻辑紧致性的常规证明（包括超积证明）推导出来，但它的有效语句集合已知是余递归可枚举的（co-r.e.），却不是递归可枚举的（r.e.）。

请问有没有这个结论的相关参考文献呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者user1868607