图像二维非整数像素循环平移为何改变其频谱？

咱们来拆解图像平移和频谱变化的核心逻辑，这里的关键差异全在平移的像素数是不是整数，以及平移的实现方式上：

整数像素循环平移：频谱功率完全不变 #

从理论上来说，当你对图像执行二维循环平移（也就是移位后，从边界出去的像素会从另一边补回来的操作），不管你移多少个整数像素，它的二维傅里叶频谱的功率都不会有任何变化。

这背后是傅里叶变换的「平移性质」：图像在空间域的循环平移，对应到频域只是相位发生了线性变化，但功率谱是频域幅度的平方，相位完全不影响这个结果，所以最终的频谱功率纹丝不动。

非整数像素平移：频谱必然改变 #

但如果是半整数或者其他非整数像素的平移，情况就完全不同了。因为图像本身只定义在有限的离散像素网格上，平移后的新位置没办法直接对应到原有的像素点，这时候就必须通过插值来计算新位置的像素值。

最典型的例子就是半整数像素平移：这种情况下，图像的最高空间频率会直接归零。本质原因是插值过程相当于给原始图像施加了一个低通滤波的效果，把高频分量给滤除了，自然频谱的分布就发生了改变——原本的高频信息被削弱甚至消除，整体频谱也就跟着变了。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Uri Cohen