关于R语言nls函数参数选择及adstock模型拟合的技术问询

Hey there! Let's unpack your two questions about using nls() for the adstock model clearly:

乍一看，sales~b0+b1*adstock确实是线性的，但别忘了adstock本身是依赖于参数alpha的递归表达式：
adstock_t = ad_t + alpha*adstock_{t-1}

如果把adstock展开成滞后项的形式，会更清楚：
adstock_t = ad_t + alpha*ad_{t-1} + alpha²*ad_{t-2} + alpha³*ad_{t-3} + ...

代入到sales的模型里，就变成：
sales_t = b0 + b1*(ad_t + alpha*ad_{t-1} + alpha²*ad_{t-2} + ...)

这里alpha是以指数形式进入模型的，整个模型对alpha来说是非线性的——普通线性回归（lm()）只能处理参数以线性组合出现的情况，没法处理这种带指数的非线性参数。所以必须用nls()这种非线性最小二乘工具来拟合，因为它能处理参数以非线性方式嵌入模型的情况。

nls()的核心逻辑是迭代式的非线性最小二乘优化，步骤大概是这样的：

• 初始值启动：你指定的start参数是算法的起点，它给b0、b1、alpha一个初始猜测值（比如根据业务经验，alpha通常在0-1之间，因为广告效应是衰减的）。
• 残差平方和计算：用当前参数值计算模型预测的sales，然后和实际sales计算残差平方和（这是算法要最小化的目标函数）。
• 参数迭代更新：算法会用梯度类方法（比如默认的Gauss-Newton，或者可选的Levenberg-Marquardt）计算残差平方和对每个参数的变化率，然后沿着能降低残差平方和的方向调整参数值。
• 收敛判断：重复前面的计算和更新步骤，直到参数的变化量小于设定的阈值，或者残差平方和不再明显下降，此时的参数就是算法找到的最优解（最小化残差平方和的参数组合）。

需要注意的是，非线性优化可能会陷入局部最优，所以合理的初始值很关键——如果初始值选得太离谱，nls()可能收敛到不是全局最优的结果，甚至直接报错不收敛。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Jie