scipy.optimize.curve_fit中sigma参数含义及仪器不确定度纳入拟合的方法咨询

假设我有一个通过重复采样测量某个量的简单模型。根据统计学知识，均值的误差可以通过以下公式计算：
$$u = \frac{\hat\sigma}{\sqrt{n}}$$
其中
$$\hat\sigma = \frac{\sum(x-\bar{x})}{\sqrt{n-1}}$$
当采样次数 $n \rightarrow \infty$ 时，这种不确定度会消失，但仪器本身还有B类不确定度。通常我们认为这两种不确定度可以通过方和根的方式叠加。

但如果是通过曲线拟合来处理数据呢？我尝试做了类似这样的拟合：

这可以用scipy.optimize.curve_fit轻松实现，代码如下：

import numpy as np
from scipy.optimize import curve_fit
import matplotlib.pyplot as plt

data_length = 10000
x = np.array(range(data_length))
y = 5 * np.ones(data_length) + np.random.normal(0, 1, data_length)
u_y = 1 * np.ones(data_length)


def func(x, b):
    return  x*0 + b

popt, pcov = curve_fit(func, x,y, sigma=u_y, absolute_sigma=False)

# 生成绘图
plt.errorbar(x, y, yerr=u_y, fmt='o')
plt.plot(x, func(x, *popt), 'r-')
plt.show()

print(popt)
print(np.sqrt(np.diag(pcov)))

结果发现当 $n \rightarrow \infty$ 时，拟合参数的误差趋近于0，这意味着可以通过大量测量来突破仪器的精度限制，这显然不符合实际。另外我发现如果把sigma缩放为sigma=1e6*u_y，拟合参数的误差并没有变化，这说明这个函数里的sigma似乎并没有对应仪器给出的测量不确定度。

我查阅了文档，发现应该设置absolute_sigma=True。我尝试了这个参数，但它似乎总是返回1/np.sqrt(data_length)，而且数据集本身的随机性并没有起到作用。另外，当 $n \rightarrow \infty$ 时误差依然会消失，这让我很困惑。

我想知道：

• 曲线拟合中正确纳入仪器误差的方式是什么？
• 这里的sigma参数到底代表什么含义？
• 在有多个参数的真实拟合中，该如何纳入这个仪器不确定度项？

我还尝试了线性拟合的情况：

sampling_points = int(1e2)
x = np.linspace(0, 1, sampling_points)
y = 5 * x + np.random.normal(0, 1, sampling_points)
u_y = 1 * np.ones(sampling_points)


def func(x, a, b):
    return  x*a + b

popt, pcov = curve_fit(func, x,y, sigma=1*u_y, absolute_sigma=False)

print("sample points: ", sampling_points)
print("k={pop[0]:.2f}, b={pop[1]:.2f}".format(pop=popt))
print("error of k: ", np.sqrt(pcov[0,0]))
print("error of b: ", np.sqrt(pcov[1,1]))

结果依然是增加数据点可以完全消除误差：
当采样点为100时：

sample points:  100
k=4.74, b=0.23
error of k:  0.37312467183800596
error of b:  0.2159669523150594

当采样点为1e6时：

sample points:  1000000
k=5.01, b=-0.00
error of k:  0.0034627280798220374
error of b:  0.0019992075688566534

备注：内容来源于stack exchange，提问作者YuanFeng Sheh