用牛顿法近似计算255/sqrt(x)的推导与代码错误排查求助

我现在想在一个除法和sqrt()操作开销很大的架构上，用牛顿法来近似计算255 / sqrt(x)，避免直接使用这些昂贵的操作。

我的推导过程如下：

y = 255 / sqrt(x)
255 / y^2 = x
f(y) = 255 / y^2 - x = 0
y[n+1] = y[n] - f(y) / f’(y)
f’(y) = -510 / y^3
y[n+1] = y[n] - (255 / y[n]^2 - x) / (-510 / y[n] ^ 3)
y[n+1] = 3/2 * y[n] - x * y[n]^2 / 510

我用下面这段代码做了测试：

# what I want is 255 * isqrt(x) or 255 / sqrt(x)
def inverse_sqrt_newton_255(x, iterations=5):
    y = 255. / x
    for _ in range(iterations):
        y = (1.5 * y) - (x * y * y / 510.)
    return y

但我发现结果总是差了sqrt(x)这个因子：
比如inverse_sqrt_newton_255(25) = 10.2，而正确结果应该是51。

我当然可以把结果乘以sqrt(x)，但这就违背了我要避免sqrt()操作的初衷。

作为参考，下面这段计算1 / sqrt(x)的代码是能正常工作的：

def inverse_sqrt_newton(x, iterations=5):
    y = 1.0 / x
    for _ in range(iterations):
        y = y * (1.5 - 0.5 * x * y * y)
    return y

到底是哪里出错了呢？

备注：内容来源于stack exchange，提问作者the five states