Prism与Affine Traversal的对偶结构是什么？

你说得很对，先确认下已知的基础定义：

• Prism是聚焦余积类型的光学算子，核心是处理“要么匹配到目标子项，要么整个结构就是其他形态”的场景。
• Affine Traversal的定义AffineTraversal s t a b ≅ (s -> Maybe a, (s, b) -> t)完全准确——它的getter可能找不到目标元素，但不管有没有找到，setter都能把新值b和原结构s结合生成新的t。

当你把这个定义里的Maybe从getter端移到setter端时，得到的结构就是Affine Prism（也常被称为Partial Prism），这正是你要找的对偶结构，它的同构定义是：

AffinePrism s t a b ≅ (s -> a, (s, b) -> Maybe t)

咱们拆解下这个结构的含义：

• Getter端：s -> a——不管输入的s是什么，总能从中提取出目标元素a，不存在提取失败的情况，这和Affine Traversal的getter逻辑完全相反。
• Setter端：(s, b) -> Maybe t——尝试用新值b替换s中的a来生成t，但这个替换操作可能失败（返回Nothing），这又和Affine Traversal的setter“总是成功”形成对偶。

再对比Prism来看这个对偶关系：Prism的标准同构是Prism s t a b ≅ (s -> Either t a, b -> t)，也就是要么s本身就是t（没匹配到a），要么能提取出a；而Affine Prism则是总能提取a，但替换a的操作可能失败——相当于把Prism中“可选性”的位置从getter侧转移到了setter侧，完美对应了Affine Traversal的对偶逻辑。

举个简单的实际例子：假设s是NonEmpty String（非空字符串列表，必然有头部元素），我们想定义一个光学算子，只允许把头部元素替换为非空字符串。这个算子就是典型的Affine Prism：

• Getter：\nonEmptyList -> head nonEmptyList（总能拿到头部元素）
• Setter：\(nonEmptyList, newHead) -> if newHead /= "" then Just (newHead : tail nonEmptyList) else Nothing（替换空字符串时失败）

另外补充一点：你提到Lens和Prism组合能得到Affine Traversal，反过来，Lens和Affine Prism组合会得到Partial Lens（定义为(s -> Maybe a, (s, b) -> Maybe t)），这也是光学算子家族里的一个常用成员。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Kristóf Marussy