基于密度函数与qnorm的正态分布分位数估计问题咨询

嘿，我懂你为啥头疼了——你这儿踩了个超容易犯的小误区！咱们来一步步把问题掰明白：

问题出在哪儿？ #

你用quantile(density(data)$x, probs = 0.997)来计算分位数的思路完全错了！density(data)$x只是密度估计函数生成的横轴坐标点，这些点是用来绘制密度曲线的辅助值，根本不是你的原始样本数据。用分位数函数去计算这些坐标点的分位数，和你真正想要的「样本的99.7%分位数」完全不是一回事，这就是为啥两个结果差了近200的原因。

正确的做法有两种： #

1. 直接用原始样本计算分位数 #

这是最直接也最准确的方式，因为你的样本量很大（10000个），样本分位数会非常接近理论分位数：

set.seed(1234)
data<-rnorm(10000,1800,150)
hist(data,probability = TRUE,xlim=c(500,3000))
lines(density(data),col="red")

# 理论分位数
q1<-qnorm(.997,mean = 1800,sd=150,lower.tail = TRUE)
# 样本分位数（正确姿势）
q2<-quantile(data,probs = 0.997)

q1
q2

abline(v=q1,col="blue",lwd=2)
abline(v=q2,col="green",lwd=2,lty=2)
legend("topright", legend=c("理论分位数","样本分位数"),
       col=c("blue","green"), lwd=2, lty=c(1,2))

运行后你会发现，q1和q2的差值会非常小，完全在合理范围内。

2. 通过密度曲线估计分位数（进阶方法） #

如果你非要基于密度曲线来计算分位数，需要先通过密度的积分得到近似的累积分布函数（CDF），再找到使得累积概率达到0.997的x值：

set.seed(1234)
data<-rnorm(10000,1800,150)
hist(data,probability = TRUE,xlim=c(500,3000))
dens <- density(data)
lines(dens,col="red")

# 理论分位数
q1<-qnorm(.997,mean = 1800,sd=150,lower.tail = TRUE)
# 基于密度曲线的分位数估计
cdf <- approxfun(dens$x, cumsum(dens$y * diff(dens$x)[1]), method = "linear")
q2_dens <- uniroot(function(x) cdf(x) - 0.997, interval = range(dens$x))$root

q1
q2_dens

abline(v=q1,col="blue",lwd=2)
abline(v=q2_dens,col="purple",lwd=2,lty=3)
legend("topright", legend=c("理论分位数","密度估计分位数"),
       col=c("blue","purple"), lwd=2, lty=c(1,3))

这个方法得到的结果也会和理论值非常接近，适合你需要基于密度分布做估计的场景。

总结 #

核心错误就是把密度曲线的横轴坐标点当成了原始样本数据——记住，分位数是针对样本数据或者分布的CDF来计算的，不是针对密度曲线的x轴点哦！

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user3483060