NumPy如何求解5次及更高次多项式？

其实你猜的牛顿法并不是NumPy背后用的核心方法哦！

numpy.roots()函数并没有依赖牛顿迭代这类需要初始值的数值解法，而是把多项式求根问题转化为了矩阵特征值求解问题——这也是它能处理任意次数多项式的关键。

具体来说，它会先根据多项式的系数构造一个对应的友矩阵（Companion Matrix）。举个例子，假设我们有n次多项式：(a_nx^n + a_{n-1}x^{n-1} + ... + a_1x + a_0 = 0)，对应的友矩阵是一个n阶矩阵：

[ -a_{n-1}/a_n   -a_{n-2}/a_n   ...   -a_0/a_n ]
[        1             0          ...        0   ]
[        0             1          ...        0   ]
[       ...           ...         ...       ...  ]
[        0             0          ...        1   ]

这个矩阵的特征值，恰好就是原多项式的所有根（包括实根和复根）。

接下来，NumPy底层会调用LAPACK库中的专业特征值求解函数（比如实系数多项式用DGEEV，复系数用ZGEEV）来计算这个友矩阵的特征值。这些求解器依赖QR分解这类稳定的数值算法，能高效且稳定地一次性求出所有根，完全不需要手动提供初始猜测值——这比牛顿法要靠谱得多，毕竟牛顿法不仅需要初始值，还可能收敛不到所有根，尤其是复根或者离初始值较远的根。

至于你说查文档没找到细节，确实NumPy的官方文档不会把底层实现讲得这么细，但核心逻辑就是这个“多项式转友矩阵→求特征值”的思路啦。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者luaenjoyer