是否存在非阶乘且属于Θ(n!)量级的函数？请举例说明
n!同量级的非阶乘函数吗？ 当然存在！其实有不少非阶乘形式的函数和n!属于同一个渐近量级（Θ(n!)），下面列举几个常见的例子，并简单说明原因：
斯特林近似的核心表达式：
sqrt(2πn) * (n/e)^n
根据斯特林公式，n!的渐近等价式就是n! ~ sqrt(2πn) * (n/e)^n，这里的~表示当n趋向无穷大时，两者的比值趋近于1。显然它满足Θ(n!)的定义——存在正的常数c1、c2，当n足够大时，c1 * n! ≤ sqrt(2πn)*(n/e)^n ≤ c2 * n!，而且这个表达式完全没有阶乘符号，属于标准的非阶乘函数。带微小扰动的阶乘变种：
n! * (1 + 1/n)
当n≥1时，1 + 1/n的取值始终在1到2之间，我们可以直接取c1=1、c2=2，就能保证对所有n≥1，1*n! ≤ n!*(1+1/n) ≤ 2*n!。它虽然包含阶乘，但整体不是单纯的阶乘形式，完全符合要求。简化版斯特林项：
(n/e)^n * sqrt(n)
这是去掉斯特林近似里常数因子sqrt(2π)后的形式，而常数因子不影响渐近量级。我们可以取c1=1/sqrt(2π)、c2=1，就能保证当n足够大时，c1*n! ≤ (n/e)^n*sqrt(n) ≤ c2*n!，显然它也属于Θ(n!)的范畴。分母趋近于1的分式：
n! / (1 + 1/2^n)
当n趋向无穷大时，1/2^n会趋近于0，分母1+1/2^n趋近于1。所以对于足够大的n，这个分式的取值会落在n!/2到n!之间，完全满足Θ(n!)的定义，而且它也不是单纯的阶乘形式。
简单来说，只要一个函数和n!的比值在n趋向无穷大时，能被两个正的常数上下限制住，它就属于Θ(n!)的范畴，这样的非阶乘函数其实有很多，上面只是几个典型例子。
内容的提问来源于stack exchange，提问作者user5716274
