如何确定相机光轴与Y轴高度为H的无限水平平面的交点？

嘿，这是个实用的3D几何问题，咱们一步步拆解解决：

1. 明确平面与光轴的数学表示 #

水平平面的方程 #

因为平面平行于xz坐标平面且沿Y轴高度为H，它的方程非常直观：
y = H
用点法式验证的话，平面法向量是(0, 1, 0)，取平面上任意点(0, H, 0)代入，最终也会得到同样的结果。

相机光轴的直线参数方程 #

相机光轴是过相机世界位置、沿相机前向延伸的直线，参数化形式为：
P(t) = C + t * D
其中：

• C = (Cx, Cy, Cz)：相机在世界空间中的位置
• D = (Dx, Dy, Dz)：相机光轴的世界空间方向向量（单位向量与否不影响交点计算，通常会归一化）
• t：参数，t ≥ 0时代表相机前方的点，t < 0代表后方的点

2. 从视图矩阵提取相机位置与光轴方向 #

视图矩阵（view-matrix）的作用是把世界空间点转换到相机的视图空间，我们需要通过它的逆矩阵获取相机的世界空间信息：

• 相机世界位置C：对视图矩阵求逆后，取逆矩阵第四列（列主序，比如OpenGL的矩阵存储方式）的前三个分量，也就是inverse(view_matrix)[3].xyz。简单来说，相机在视图空间的原点，逆视图矩阵会把这个原点转换回世界空间的相机位置。
• 光轴方向D：在右手坐标系中，相机光轴通常指向视图空间的-Z方向（即(0, 0, -1)）。把这个视图空间方向转换到世界空间，只需用逆视图矩阵乘以齐次向量(0, 0, -1, 0)，取前三个分量即可得到D。如果是列主序矩阵，这等价于取逆视图矩阵第三列的相反数：D = -inverse(view_matrix)[2].xyz。

3. 计算交点 #

我们需要找到t使得P(t)的y坐标等于H，代入直线参数方程：
Cy + t * Dy = H
解这个方程得到t：
t = (H - Cy) / Dy

分情况讨论结果 #

• 当Dy ≠ 0时：把t代入直线参数方程，得到交点坐标：

  Px = Cx + t * Dx
  Py = H
  Pz = Cz + t * Dz
  

  若t ≥ 0，说明交点在相机前方；若t < 0，则在相机后方。
• 当Dy = 0时：
  • 如果Cy == H：相机本身就在平面上，且光轴平行于平面，此时整个光轴都在平面上，存在无数个交点。
  • 如果Cy != H：光轴与平面平行且不相交，没有交点。

4. 关于投影矩阵的说明 #

你提到了投影矩阵（projection-matrix），但在这个几何交点求解问题里它其实用不上——我们是在世界空间做纯几何计算，投影矩阵的作用是把视图空间点转换到裁剪空间，只有当你需要把交点转换为屏幕坐标时，才会结合视图矩阵做MVP变换用到它。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者toto_tata