Haskell Linear+AD：如何为Forward适配Metric以使用diff函数？

我明白你遇到的困境：想用ad的diff处理依赖quadrance的四元数函数，但Forward类型没有Metric实例，而且Metric的kind是* -> *，没法直接给Forward的子类型挂这个实例。其实不用执着于Metric约束，咱们换个思路就能实现微分功能，下面是具体方案：

方案1：手动替换Metric依赖，实现四元数专属版本 #

既然quadrance对于四元数来说本质是各分量的平方和，咱们可以直接针对Quaternion实现这个操作，摆脱Metric的通用约束，这样就能适配ad的自动微分类型了。

举个例子，假设你原来的函数是这样的：

import Numeric.AD
import Data.Quaternion -- 假设用的是标准四元数库

myQuatFunc :: Metric a => Quaternion a -> Quaternion a
myQuatFunc q = q * pure (quadrance q)

咱们把它改成不依赖Metric的版本：

-- 专门给四元数实现quadrance
quadranceQuat :: Num a => Quaternion a -> a
quadranceQuat (Quaternion w x y z) = w^2 + x^2 + y^2 + z^2

myQuatFunc' :: Num a => Quaternion a -> Quaternion a
myQuatFunc' q = q * pure (quadranceQuat q)

现在这个myQuatFunc'就能直接用diff处理了——因为Forward类型有Num实例，而Quaternion (Forward a)也会继承Num实例（只要你定义了Quaternion的Num实例），ad的自动微分系统能完美追踪这些操作。

方案2：用新类型包装Forward，间接实现Metric兼容（可选） #

如果你不想改动原有的通用函数，可以把Forward包装成新类型，给这个新类型实现Metric实例。不过要注意Metric的kind是* -> *，所以新类型得是类型构造子：

newtype ForwardMetric a = ForwardMetric (Forward a)

instance Num a => Metric ForwardMetric where
  quadrance (ForwardMetric f) = 
    let (Quaternion (Forward w) (Forward x) (Forward y) (Forward z)) = unForward f
    in w^2 + x^2 + y^2 + z^2

不过这种方式需要你了解Forward的内部结构，相对麻烦，不如方案1直接高效。

核心思路总结 #

你不需要执着于给Forward加Metric实例，关键是让你的函数操作能被ad的自动微分系统追踪。ad已经给Forward、Reverse等类型实现了Num、Fractional等基础类型类，只要你的四元数函数基于这些基础操作实现，就能顺利用diff计算微分。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Charles Durham