输入数组生成多项式展开式系数的技术实现问询

Hey，看起来你已经搞定了数组输入填充的部分，接下来的多项式展开与系数计算完全不需要绕到字符串处理，用多项式迭代乘法的思路就非常清晰，我给你一步步拆解：

咱们的目标是把 $(X - a_1)(X - a_2)...(X - a_n)$ 展开成 $c_0X^n + c_1X^{n-1} + ... + c_n$ 的形式。可以从最简单的多项式开始，每次乘入一个 $(X - a_i)$，逐步更新系数数组：

• 初始状态：多项式为 $1$，对应系数数组 [1]
• 每次乘入 $(X - a)$ 时，新系数数组的生成规则：
  1. 新数组长度 = 原数组长度 + 1
  2. 最高次项系数 = 原数组的最高次项系数（即原数组第一个元素）
  3. 中间项系数 = 原数组对应位置系数 - $a$ × 原数组前一个位置系数
  4. 常数项 = $-a$ × 原数组的常数项（即原数组最后一个元素）

1. 初始化系数数组：coeffs = [1]
2. 处理第一个根3：
   • 新数组长度为2，初始化为[0,0]
   • 新数组[0] = 原数组[0] = 1
   • 新数组[1] = 0 - 3×1 = -3
   • 此时系数数组变为[1, -3]，对应多项式 $X - 3$
3. 处理第二个根2：
   • 新数组长度为3，初始化为[0,0,0]
   • 新数组[0] = 1
   • 新数组[1] = -3 - 2×1 = -5
   • 新数组[2] = 0 - 2×(-3) = 6
   • 最终系数数组就是[1, -5, 6]，完美匹配你的预期！

有了系数数组后，咱们可以遍历数组拼接字符串，注意处理符号、系数为1/0、次数为1的特殊情况：

• 对于系数c和对应次数d：
  • 符号：第一项正系数省略+，后续正系数加+，负系数直接写-
  • 系数：系数为1且次数>0时省略1，系数为0时跳过该项
  • 次数：次数为1时写X而非X^1，次数为0时只写常数

还是用例子[1, -5, 6]：

• 第一项：1×X² → 写成X²
• 第二项：-5×X¹ → 写成-5X
• 第三项：6 → 写成+6
• 拼接后得到X² - 5X + 6

# 假设已经获取了根数组，比如roots = [3, 2]
coeffs = [1]
for root in roots:
    # 初始化新的系数数组
    new_coeffs = [0] * (len(coeffs) + 1)
    # 复制最高次项系数
    new_coeffs[0] = coeffs[0]
    # 处理中间项
    for i in range(1, len(coeffs)):
        new_coeffs[i] = coeffs[i] - root * coeffs[i-1]
    # 处理常数项
    new_coeffs[-1] = -root * coeffs[-1]
    coeffs = new_coeffs

print("系数数组：", coeffs)  # 输出 [1, -5, 6]

# 生成展开式表达式
expr = ""
degree = len(coeffs) - 1
for i in range(len(coeffs)):
    c = coeffs[i]
    current_degree = degree - i
    if c == 0:
        continue  # 跳过系数为0的项
    
    # 处理符号
    if i == 0:
        if c < 0:
            expr += "-"
            c = abs(c)
    else:
        if c > 0:
            expr += "+"
        else:
            expr += "-"
            c = abs(c)
    
    # 处理系数与次数
    if current_degree == 0:
        expr += str(c)
    elif current_degree == 1:
        if c != 1:
            expr += str(c)
        expr += "X"
    else:
        if c != 1:
            expr += str(c)
        expr += f"X^{current_degree}"

print("展开式：", expr)  # 输出 X²-5X+6

直接操作系数数组的数学方法比字符串拼接计算更高效，也更不容易出错——尤其是当根的数量多、根为负数或者系数出现0时，字符串处理会变得异常繁琐，而系数迭代的逻辑清晰，维护起来也更简单。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Terko Dok