使用仅NAND门实现xy+xz+yz的正确性验证与优化咨询

首先得给你点个赞，你的分组思路（把xy+xz和yz分开处理）是完全正确的，咱们先一步步拆解验证你的实现逻辑：

你的实现思路验证 #

按照你拆分的xy+xz + yz，我们可以用NAND门逐步构建：

• 第一步：实现y+z（因为xy+xz = x(y+z)），用NAND门实现或运算的公式是OR(a,b) = NAND(NAND(a,a), NAND(b,b))，所以y+z需要2个NAND门：NAND(NAND(y,y), NAND(z,z))
• 第二步：实现x和y+z的与运算，与运算用NAND门的实现是AND(a,b) = NAND(NAND(a,b), NAND(a,b))，所以x(y+z)需要2个NAND门：NAND(NAND(x, NAND(NAND(y,y), NAND(z,z))), NAND(x, NAND(NAND(y,y), NAND(z,z))))
• 第三步：实现yz，同样用与运算的NAND实现，需要2个NAND门：NAND(NAND(y,z), NAND(y,z))
• 第四步：把前两步的结果做或运算，再次用到或运算的NAND实现，需要2个NAND门：NAND(NAND( [第二步结果], [第二步结果] ), NAND( [第三步结果], [第三步结果] ))

整个流程下来，每一步的逻辑都是等价转换的，最终确实能得到xy+xz+yz，所以你的实现是完全正确的！

更优的实现方案 #

不过你的方案用到了8个NAND门，我们可以通过德摩根定理直接转换原式，减少门的数量，只需要6个NAND门就能实现：

先回忆德摩根定理：P∨Q∨R = ¬(¬P ∧ ¬Q ∧ ¬R)，把原式xy+xz+yz代入，这里P=xy、Q=xz、R=yz，所以原式可以转换为：
xy+xz+yz = ¬( ¬(xy) ∧ ¬(xz) ∧ ¬(yz) )

而¬(ab)本身就是NAND门的定义，即NAND(a,b) = ¬(ab)，所以我们可以一步步构建：

1. 计算A = NAND(x,y) → 对应¬(xy)
2. 计算B = NAND(x,z) → 对应¬(xz)
3. 计算C = NAND(y,z) → 对应¬(yz)
4. 计算D = NAND(A,B) → 对应¬(A∧B)，也就是¬(¬(xy) ∧ ¬(xz))
5. 计算E = NAND(D,D) → 对应A∧B（因为NAND门对自身做运算就是取反，相当于把¬(A∧B)再取反得到A∧B）
6. 计算F = NAND(E,C) → 对应¬(E∧C) = ¬(A∧B∧C)，也就是我们要的xy+xz+yz

这个方案比你的分组方案少用2个NAND门，逻辑更紧凑，是更优的实现方式。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者J Alan