在Sympy中为自定义符号实现正确的高阶导数（模拟r=√(x²+y²+z²)的导数行为）

你的思路方向是对的，但只子类化Symbol并重写diff方法还不够——问题出在当r和其他符号结合成Mul这类表达式后，Sympy的默认求导逻辑会把r当成独立变量处理，忽略了它和x/y/z的依赖关系，所以二阶求导时漏掉了链式法则的部分。

更合适的解决方案：子类化Function而非Symbol #

在Sympy里，Function类专门用来表示依赖于其他变量的函数，而非独立符号。用它来实现你的自定义r，Sympy会自动帮你处理链式法则，高阶导数也能正确计算。

方案1：带表达式展开的版本（需要时可以展开成√(x²+y²+z²)）

from sympy import symbols, Function, diff, sqrt

x, y, z = symbols("x y z")

class r(Function):
    @classmethod
    def eval(cls):
        # 定义r的具体表达式，调用doit()时会自动展开
        return sqrt(x**2 + y**2 + z**2)
    
    def diff(self, var):
        if var == x:
            return x / self
        elif var == y:
            return y / self
        elif var == z:
            return z / self
        # 对其他变量求导时用默认逻辑
        return super().diff(var)

# 实例化自定义r
r_obj = r()

测试一下：

>>> diff(r_obj, x)
x/r()
>>> diff(diff(r_obj, x), x)
1/r() - x**2/r()**3

完全符合预期的二阶导数结果。如果需要展开r()成具体表达式，只需要调用r_obj.doit()即可。

方案2：纯抽象符号版本（不需要展开表达式）

如果只需要r保持抽象符号，同时拥有正确的导数行为，去掉eval方法就行：

from sympy import symbols, Function, diff

x, y, z = symbols("x y z")

class r(Function):
    def diff(self, var):
        if var in (x, y, z):
            return var / self
        return super().diff(var)

测试结果一样：

>>> diff(r(), x)
x/r()
>>> diff(diff(r(), x), x)
1/r() - x**2/r()**3

为什么原来的Symbol子类化方案不行？ #

Sympy的Symbol默认被设计为独立变量，当你得到x/r这个Mul对象后，求导时Sympy会默认认为r和x无关，所以计算d/dx(1/r)时直接返回0，只保留了x的导数乘以1/r的部分，也就是1/r，漏掉了链式法则的项。如果非要用Symbol子类化，需要手动注册自定义的求导规则，这会复杂很多，不如用Function来得直接。

备注：内容来源于stack exchange，提问作者Antimon