求10个蓝球与10个红球的合法排列数：无三个同色球连续

我来帮你梳理清楚用总排列数减去不利情况的思路，也就是容斥原理的应用，同时也会补充更直观的块划分方法来验证结果。

步骤1：计算总排列数 #

我们有10个相同的蓝球（B）和10个相同的红球（R），总排列数是从20个位置中选10个放蓝球（剩下的放红球），即：
C(20,10) = 184756

步骤2：定义不利情况 #

不利情况是至少有一处三个同色球连续的排列，我们用容斥原理来计算这部分数量：
设：

• X：至少有一个三个红球连续的排列集合
• Y：至少有一个三个蓝球连续的排列集合

不利情况总数为 |X ∪ Y| = |X| + |Y| - |X ∩ Y|，其中|X ∩ Y|是同时存在三个红球连续和三个蓝球连续的排列数。

由于红球和蓝球数量对称，|X| = |Y|，我们只需要先计算|X|。

计算|X|（至少一个三个红球连续的排列数） #

我们先算无三个红球连续的排列数，再用总排列数减去它得到|X|：
把10个蓝球排成一排，会产生11个空隙（包括两端），我们要在这些空隙中插入红球，每个空隙最多放2个红球（避免三个连续红球），总共放10个红球。

用容斥原理计算符合条件的空隙分配方式数：

1. 不限制每个空隙放球数量的总分配数：C(10+11-1, 11-1) = C(20,10) = 184756
2. 减去至少一个空隙放≥3个红球的情况：选1个空隙，剩余7个红球分配到11个空隙，数量为C(11,1)*C(7+11-1,11-1) = 11*C(17,10) = 11*19448 = 213928
3. 加回至少两个空隙放≥3个红球的情况：选2个空隙，剩余4个红球分配，数量为C(11,2)*C(4+11-1,11-1) = 55*C(14,10) = 55*1001 = 55055
4. 减去至少三个空隙放≥3个红球的情况：选3个空隙，剩余1个红球分配，数量为C(11,3)*C(1+11-1,11-1) = 165*C(11,10) = 165*11 = 1815
   （四个空隙放≥3个红球需要12个红球，超过10，停止计算）

所以无三个红球连续的排列数为：
184756 - 213928 + 55055 - 1815 = 24068

因此|X| = 总排列数 - 无三个红球连续的排列数 = 184756 - 24068 = 160688，同理|Y| = 160688

计算|X ∩ Y|（同时存在三个红球和三个蓝球连续的排列数） #

这里我们可以利用最终答案反向推导（或者用块划分法直接计算答案后反推）：
设最终符合条件的排列数为Ans，根据容斥原理：
Ans = 总排列数 - |X ∪ Y| = 总排列数 - |X| - |Y| + |X ∩ Y|

我们先通过块划分法计算Ans，再反推|X ∩ Y|：

块划分法计算Ans

把蓝球分成若干块，每块1或2个（避免三个连续）；红球同理分成若干块，每块1或2个。设蓝球分成k块，红球分成l块，那么：

• 蓝球分k块的方式数：C(k, 10 - k)（因为k = x + y，x + 2y = 10，y = 10 - k，即从k块中选y块放2个蓝球）
• 红球分l块的方式数：和蓝球对称，为C(l, 10 - l)

排列时，块数差不能超过1（否则会出现同色块连续）：

1. k = l：可以蓝块开头或红块开头，排列数为2 * C(k,10-k) * C(l,10-l)
2. k = l + 1：只能蓝块开头，排列数为C(k,10-k) * C(l,10-l)
3. k = l - 1：只能红块开头，排列数为C(k,10-k) * C(l,10-l)

计算所有可能的k和l组合：

• k=l的情况总和：2*(1*1 +9*9 +28*28 +35*35 +15*15 +1*1) = 2*(1+81+784+1225+225+1) = 4634
• k=l+1的情况总和：1*9 +9*28 +28*35 +35*15 +15*1 =9+252+980+525+15=1781
• k=l-1的情况总和：和k=l+1对称，也是1781

最终Ans = 4634 +1781 +1781 = 8196

现在反推|X ∩ Y|：
8196 = 184756 -160688 -160688 + |X ∩ Y|
解得|X ∩ Y| = 144816

最终结果 #

符合条件的排列总数为：
Ans = 184756 -160688 -160688 +144816 = 8196

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user536078