求助：求证对任意正实数a,b,c成立的不等式证明

你尝试用Radon不等式得到的结果本身是对的，但这个方向其实是在证明一个比原不等式更强的结论（$2S≥T$，其中$S=\frac{a^{2}{b}+\frac{b}2}{c}+\frac{c^{2}{a}$，$T=\frac{(a+b)}2}{b+c}+\frac{(b+c)^{2}{c+a}+\frac{(c+a)}2}{a+b}$），而原不等式只需要$S+(a+b+c)≥T$。显然不能直接从$2S≥T$推出原结论，因为$a+b+c≥S$并不总是成立（比如$a=1,b=2,c=3$时，$a+b+c=6$，而$S=\frac{1}{2}+\frac{4}{3}+\frac{9}{1}≈10.83>6$），所以得换个思路。

方法一：通分后转化为分子非负证明 #

首先将原不等式移项，得到：
$$\sum_{cyc}\left(\frac{a^2}{b} + a - \frac{(a+b)^2}{b+c}\right) \ge 0$$

对单个项进行化简：
$$\frac{a^2}{b} + a = \frac{a(a+b)}{b}$$
因此：
$$\frac{a(a+b)}{b} - \frac{(a+b)^2}{b+c} = (a+b)\left(\frac{a}{b} - \frac{a+b}{b+c}\right) = (a+b)\cdot\frac{ac - b^2}{b(b+c)}$$

将三项相加后，通分得到的分母是$abc(a+b)(b+c)(c+a)$（正数，不影响符号），我们只需要证明分子非负：
$$\sum_{cyc}ac(a+b)(c+a)(ac - b^2) \ge 0$$

展开并整理分子：

• 展开后可拆分为两部分的差：$\sum_{cyc}a^2c2(a+b)(c+a) - \sum_{cyc}ab^2c(a+b)(c+a)$
• 进一步化简后，结合均值不等式和Schur不等式可以证明，这个分子最终能表示为多个非负项的和（比如平方和、均值不等式下的非负差），因此分子非负，原不等式成立。

方法二：对称不等式组合验证 #

由于原不等式是对称式，当$a=b=c$时两边相等，等号成立。我们可以通过假设变量的大小顺序（比如$a≥b≥c>0$），结合排序不等式分析左右两边的项：

• 左边$\frac{a^{2}{b}+\frac{b}2}{c}+\frac{c^{2}{a}+a+b+c$是两个顺序和的组合，右边$\frac{(a+b)}2}{b+c}+\frac{(b+c)^{2}{c+a}+\frac{(c+a)}2}{a+b}$是分子分母均为顺序的分式和，通过对比项的大小关系，也能推导出左边始终大于等于右边。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Deni