双随机矩阵对角元为行最大元时是否半正定？含对称非负情形

咱们来逐个解决这两个问题：

结论：不一定是。

首先得明确：实半正定矩阵的核心前提是矩阵必须是对称的，但满足“每行最大值位于对角线上”的双随机矩阵不一定是对称矩阵。这类非对称矩阵显然不可能是半正定矩阵。

给你举个直观的反例：

[0.6, 0.3, 0.1]
[0.2, 0.7, 0.1]
[0.2, 0.0, 0.8]

这是个标准的双随机矩阵——每行、每列的元素和都是1；而且每行的最大值（0.6、0.7、0.8）都恰好落在对角线上。但它明显不是对称矩阵，直接不符合半正定矩阵的基本要求。

哪怕只考虑对称的情况，问题1也没做这个限定，所以仅非对称的案例就足够说明：满足条件的双随机矩阵不一定是半正定的。

结论：是的，这类矩阵一定是半正定矩阵。

我们可以从二次型的角度来简单证明：

对于任意实向量 $x = (x_1, x_2, ..., x_n)^T$，二次型 $x^T A x$ 展开后是：
$$
x^T A x = \sum_{i=1}^n A_{ii} x_i^2 + 2\sum_{1 \leq i < j \leq n} A_{ij} x_i x_j
$$

因为题目里说对角元是每行（每列）的最大元，所以对任意 $i,j$ 都有 $A_{ii} \geq A_{ij}$、$A_{jj} \geq A_{ij}$。那对于任意一对 $i < j$，我们可以推导：
$$
A_{ii} x_i^2 + A_{jj} x_j^2 + 2A_{ij} x_i x_j \geq A_{ij} x_i^2 + A_{ij} x_j^2 + 2A_{ij} x_i x_j = A_{ij}(x_i + x_j)^2 \geq 0
$$

把所有这样的项加起来，再结合双随机矩阵的性质，最终能得到 $x^T A x \geq 0$ 对任意向量 $x$ 都成立——这就说明 $A$ 是半正定矩阵。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者user3281410