求无苏格兰对角线的米字旗矩阵Aₙ的行列式通式

让我们一步步拆解这个问题，从矩阵结构分析入手，通过行变换简化计算，最终推导出通用的行列式公式：

先明确矩阵$A_n$的结构 #

给定整数$n \ge 1$，$A_n$是$(2n-1) \times (2n-1)$的矩阵，其元素满足：

• 当$i+j=2n$（反对角线）、$i=n$（中间行）或$j=n$（中间列）时，元素为1；
• 其余所有元素均为0。

低阶例子验证（找初步规律） #

先计算几个小$n$值的行列式，验证后续推导的正确性：

• $n=1$：$A_1$是$1 \times 1$矩阵，元素为1，$\det(A_1)=1$；
• $n=2$：$A_2$是$3 \times 3$矩阵：
  $$
  A_2 = \begin{bmatrix}
  0 & 1 & 1 \
  1 & 1 & 1 \
  1 & 1 & 0
  \end{bmatrix}
  $$
  计算得$\det(A_2)=1$；
• $n=3$：$A_3$是$5 \times 5$矩阵，通过展开或行变换计算得$\det(A_3)=-3$。

通用推导：行变换简化矩阵 #

我们通过一系列初等行变换（不改变或可追踪行列式变化）来简化$A_n$：

1. 第一步行减法：
   对每个$k=1,2,...,n-1$，执行行变换$R_k' = R_k - R_{2n-k}$（行减法不改变行列式值）：

   • 原$R_k$（$k<n$）的非零元素是第$n$列和第$2n-k$列的1；
   • 原$R_{2n-k}$的非零元素是第$n$列和第$k$列的1；
   • 变换后$R_k'$仅在第$k$列（值为-1）、第$2n-k$列（值为1）有非零元素，第$n$列变为0。

2. 第二步行倍乘：
   对每个$k=1,2,...,n-1$，执行行变换$R_k'' = -R_k'$（行倍乘-1，行列式乘以$(-1)^{n-1}$）：

   • 变换后$R_k''$仅在第$k$列（值为1）、第$2n-k$列（值为-1）有非零元素。

3. 第三步消元：
   对每个$k=1,2,...,n-1$，执行行变换$R_{2n-k}' = R_{2n-k} - R_k''$（行减法不改变行列式值）：

   • 变换后$R_{2n-k}'$仅在第$n$列（值为1）、第$2n-k$列（值为1）有非零元素。

计算简化后矩阵的行列式 #

经过上述变换，矩阵的前$n-1$行是对角元为1、仅在$(k,2n-k)$位置有-1的行；后$n-1$行是仅在$(2n-k,n)$和$(2n-k,2n-k)$位置有1的行；中间行（第$n$行）变为：第$n$列值为$2-n$，第$2n-k$列（$k=1..n-1$）值为1，其余为0。

此时按前$n-1$行展开（对角元均为1，展开后行列式等于剩余$n$阶子矩阵$B_n$的行列式），$B_n$的形式为：
$$
B_n = \begin{bmatrix}
2-n & 1 & 1 & ... & 1 \
1 & 1 & 0 & ... & 0 \
1 & 0 & 1 & ... & 0 \
\vdots & \vdots & \vdots & \ddots & \vdots \
1 & 0 & 0 & ... & 1
\end{bmatrix}
$$

通过行变换或行列式展开可计算得$\det(B_n)=3-2n$。

合并最终结果 #

结合行倍乘带来的行列式变化，最终得到：
$$
\det(A_n) = (-1)^{n-1}(3-2n)
$$
验证所有低阶例子均符合该公式，且$n=1$时也满足（$(-1)^{0}(3-2)=1$）。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者Inverse Problem