已知X的密度函数与Y的分段定义，如何求解Y的CDF？

首先得明确，累积分布函数的核心定义是 ( F_Y(y) = P(Y \leq y) )，我们要做的就是把Y的每个分段对应到X的取值范围，再结合X的概率密度函数（先修正一下你笔误的地方：X的密度函数第一个区间应该是 (-1 \leq t < 0)，不然这个区间是空集，完全没有意义）来计算每个y区间下的概率。

先理清楚Y的各个分段对应的X范围和Y的取值：

• 当 ( X \in [-1, 0] ) 时，( Y = X+1 )，Y的取值范围是 ( [0, 1] )
• 当 ( X \in [0, \frac{1}{2}] ) 时，( Y = -X )，Y的取值范围是 ( [-\frac{1}{2}, 0] )
• 当 ( X \in (\frac{1}{2}, 1) ) 时，( Y = 2 )（固定值）
• 当 ( X \in [1, 3] ) 时，( Y = 4-X )，Y的取值范围是 ( [1, 3] )

接下来分区间逐一计算 ( F_Y(y) )：

1. 当 ( y < -\frac{1}{2} ) #

Y的所有可能取值都大于y，没有任何X能让Y≤y，所以：
[ F_Y(y) = 0 ]

2. 当 ( -\frac{1}{2} \leq y < 0 ) #

只有 ( X \in [0, \frac{1}{2}] ) 这个分段的Y可能≤y，因为这里 ( Y=-X )，所以 ( Y \leq y ) 等价于 ( X \geq -y )（注意y是负数，不等号变向）。结合X的范围，我们需要计算 ( X \in [-y, \frac{1}{2}] ) 的概率：
[
F_Y(y) = \int_{-y}^{\frac{1}{2}} f_X(t) dt = \int_{-y}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}t dt
]
计算积分：
[
\int_{-y}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}t dt = \frac{1}{18}t^2 \bigg|_{-y}^{\frac{1}{2}} = \frac{1}{72} - \frac{y^2}{18}
]

3. 当 ( 0 \leq y < 1 ) #

满足Y≤y的X来自两个分段：

• ( X \in [-1, 0] )：( Y=X+1 \leq y ) 等价于 ( X \leq y-1 )，结合X范围得 ( X \in [-1, y-1] )
• ( X \in [0, \frac{1}{2}] )：这里Y=-X≤0≤y，所以整个区间都满足

分别计算两部分概率再相加：
[
P(X \in [-1, y-1]) = \int_{-1}^{y-1} \frac{1}{2}dt = \frac{1}{2}y
]
[
P(X \in [0, \frac{1}{2}]) = \int_{0}^{\frac{1}{2}} \frac{1}{9}t dt = \frac{1}{72}
]
所以：
[
F_Y(y) = \frac{1}{2}y + \frac{1}{72}
]

4. 当 ( 1 \leq y < 2 ) #

满足Y≤y的X来自两个分段（第三个分段Y=2>y，不满足）：

• ( X \in [-1, 0] )：Y=X+1≤1≤y，整个区间都满足，概率是 ( \frac{1}{2} )
• ( X \in [0, \frac{1}{2}] )：Y=-X≤0≤y，整个区间都满足，概率是 ( \frac{1}{72} )
• ( X \in [1, 3] )：( Y=4-X \leq y ) 等价于 ( X \geq 4-y )，结合X范围得 ( X \in [4-y, 3] )

计算第三部分概率：
[
P(X \in [4-y, 3]) = \int_{4-y}^{3} \frac{1}{9}t dt = \frac{1}{18}(9 - (4-y)^2) = \frac{1}{2} - \frac{(4-y)^2}{18}
]
三者相加：
[
F_Y(y) = \frac{1}{2} + \frac{1}{72} + \frac{1}{2} - \frac{(4-y)^2}{18} = \frac{73}{72} - \frac{(4-y)^2}{18}
]

5. 当 ( 2 \leq y < 3 ) #

满足Y≤y的X来自所有分段：

• 前三个分段（( X \in [-1, 1) )）：Y的取值≤2≤y，全部满足，总概率是 ( P(-1 \leq X < 0) + P(0 \leq X <1) = \frac{1}{2} + \int_{0}^{1} \frac{1}{9}t dt = \frac{1}{2} + \frac{1}{18} = \frac{5}{9} )
• ( X \in [1, 3] )：( Y=4-X \leq y ) 等价于 ( X \geq4-y )，概率和之前一样是 ( \frac{1}{2} - \frac{(4-y)^2}{18} )

相加得：
[
F_Y(y) = \frac{5}{9} + \frac{1}{2} - \frac{(4-y)^2}{18} = \frac{19}{18} - \frac{(4-y)^2}{18}
]

6. 当 ( y \geq3 ) #

Y的最大值是3（当X=1时Y=3），所以所有X对应的Y都≤y，概率为1：
[ F_Y(y) =1 ]

最终的Y的累积分布函数 #

[
F_Y(y) = \begin{cases}
0, & y < -\frac{1}{2} \
\frac{1}{72} - \frac{y^2}{18}, & -\frac{1}{2} \leq y < 0 \
\frac{1}{2}y + \frac{1}{72}, & 0 \leq y < 1 \
\frac{73}{72} - \frac{(4-y)^2}{18}, & 1 \leq y < 2 \
\frac{19}{18} - \frac{(4-y)^2}{18}, & 2 \leq y < 3 \
1, & y \geq 3
\end{cases}
]

这里要注意，Y在y=2处有一个概率跳跃（因为( P(Y=2)=P(\frac{1}{2}<X<1)=\frac{1}{24} )），所以CDF在y=2处是右连续的，符合随机变量CDF的性质。

内容的提问来源于stack exchange，提问作者stos1512